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钦定四库全书
律吕阐微卷三
婺源 江永 撰
律度
既得各律之率即可得各律之长律冇倍有正有半凡
三十六律用横黍尺百分者纪其尺寸分釐毫丝忽微
纤以为后算周径幂积张本纤以下略之
倍律通长
黄钟二尺
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大吕一尺八寸八分七釐七毫四丝八忽六微二纤
太蔟一尺七寸八分一釐七毫九丝七忽四微三纤
夹钟一尺六寸八分一釐七毫九丝二忽八微三纤
姑洗一尺五寸八分七釐四毫○一忽○五纤
仲吕一尺四寸九分八釐三毫○七忽○七纤
蕤宾一尺四寸一分四釐二毫一丝三忽五微六纤
林钟一尺三寸三分四釐八毫三丝九忽八微五纤
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夷则一尺二寸五分九釐九毫二丝一忽○四纤
南吕一尺一寸八分九釐二毫○七忽一微一纤
无射一尺一寸二分二釐四毫六丝二忽○四纤
应钟一尺○五分九釐四毫六丝三忽○九纤
已上诸倍律如欲以次求之则以本律通长为实以
十亿乘之以十亿○五千九百四十六万三千○九
十四除之得次律
正律通长
黄钟一尺
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大吕九寸四分三釐八毫七丝四忽三微一纤
太蔟八寸九分○八毫九丝八忽七微一纤
夹钟八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤
姑洗七寸九分三釐七毫○○五微二纤
仲吕七寸四分九釐一毫五丝三忽五微三纤
蕤宾七寸○七釐一毫○六忽七微八纤
林钟六寸六分七釐四毫一丝九忽九微二纤
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夷则六寸二分九釐九毫六丝 ○ 五微二纤
南吕五寸九分四釐六毫○三忽五微五纤
无射五寸六分一釐二毫三丝一忽○二纤
应钟五寸二分九釐七毫三丝一忽五微四纤
已上诸正律如欲以次求之则以本律通长为实以
十亿乘之以十亿○五千九百四十六万三千○九
十四除之得次律
半律通长
黄钟五寸
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大吕四寸七分一釐九毫三丝七忽一微五纤
太蔟四寸四分五釐四毫四丝九忽三微五纤
夹钟四寸二分○四毫四丝八忽二微○
姑洗三寸九分六釐八毫五丝二微六纤
仲吕三寸七分四釐五毫七丝六忽七微六纤
蕤宾三寸五分三釐五毫五丝三忽三微九纤
林钟三寸三分三釐七毫○九忽九微六纤
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夷则三寸一分四釐九毫八丝○二微六纤
南吕二寸九分七釐三毫○一忽七微七纤
无射二寸八分○六毫一丝五忽五微一纤
应钟二寸六分四釐八毫六丝五忽七微七纤
已上诸半律如欲以次求之则以本律通长为实以
十亿乘之以十亿○五千九百四十六万三千○九
十四除之得次律
斜黍尺九寸每寸十分纪其尺寸分釐毫丝忽微纤
共二十四律
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倍律长
蕤宾一尺二寸七分二釐七毫九丝二忽二微
林钟一尺二寸○一釐三毫五丝五忽八微六纤
夷则一尺一寸三分三釐九毫二丝八忽九微四纤
南吕一尺○七分○二毫八丝六忽四微
无射一尺○一分○二毫一丝五忽八微四纤
应钟九寸五分三釐五毫一丝六忽七微八纤
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已上诸倍律如欲以次求之则以本律为实以五亿
乘之以五亿二千九百七十三万一千五百四十七
除之得次律
正律长
黄钟九寸
大吕八寸四分九釐四毫八丝六忽八微八纤
太蔟八寸○一釐八毫○八忽八微四纤
夹钟七寸五分六釐八毫○六忽七微七纤
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姑洗七寸一分四釐三毫三丝○四微七纤
仲吕六寸七分四釐二毫三丝八忽一微八纤
蕤宾六寸三分六釐三毫九丝六忽一微○
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林钟六寸○○六毫七丝七忽九微三纤
夷则五寸六分六釐九毫六丝四忽四微七纤
南吕五寸三分五釐一毫四丝三忽二微○
无射五寸○五釐一毫○七忽九微二纤
应钟四寸七分六釐七毫五丝八忽三微九纤
已上诸正律如欲以次求之则以本律为实以五亿
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乘之以五亿二千九百七十三万一千五百四十七
除之得次律
半律长
黄钟四寸五分
大吕四寸二分四釐七毫四丝三忽四微四纤
太蔟四寸○○九毫○四忽四微二纤
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夹钟三寸七分八釐四毫○三忽三微八纤
姑洗三寸五分七釐一毫六丝五忽二微三纤
仲吕三寸三分七釐一毫一丝九忽○九纤
已上诸半律如欲以次求之则以本律为实以五亿
乘之以五亿二千九百七十三万一千五百四十七
除之得次律
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纵黍八十一分律依新法算
黄钟八寸一分
大吕七寸六分四釐五毫三丝八忽一微九纤
太蔟七寸二分一釐六毫二丝七忽九微六纤
夹钟六寸八分一釐一毫二丝六忽○九纤
姑洗六寸四分二釐八毫九丝七忽四微二纤
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仲吕六寸○六釐八毫一丝四忽三微六纤
蕤宾五寸七分二釐七毫五丝六忽四微九纤
林钟五寸四分○六毫一丝○一微四纤
夷则五寸一分○二毫六丝八忽○二纤
南吕四寸八分一釐六毫二丝八忽八微八纤
无射四寸五分四釐五毫九丝七忽一微二纤
应钟四寸二分九釐○八丝二忽五微五纤
诸律如欲以次求之置本律之率以八十一亿乘之
折半退位为实以五亿二千九百七十三万一千五
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百四十七除之得次律
纵黍八十一分作九寸律依新法算
例曰此法每寸九分每分九釐每釐九毫每毫九丝
每丝九忽每忽九微每微九纤皆以九为法故与十
不同
黄钟九寸
大吕八寸四分四釐○六丝七忽四微五纤
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太蔟八寸○一釐四毫一丝六忽○八纤
夹钟七寸五分一釐○一丝○七微四纤
姑洗七寸一分二釐五毫四丝二忽
仲吕六寸六分六釐一毫一丝六忽八微一纤
蕤宾六寸三分二釐四毫二丝八忽四微七纤
林钟六寸○○四毫八丝四忽二微七纤
夷则五寸六分○二毫一丝四忽七微五纤
南吕五寸三分一釐四毫一丝六忽六微三纤
无射五寸○四釐一毫二丝一忽一微五纤
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应钟四寸六分八釐一毫五丝一忽○五纤
黄钟半律四寸四分四釐四毫四丝四忽四微四纤
朱载堉曰约十为九主意盖为三分损益而设使归
除无不尽数耳夫律吕之理循环无端而杪忽之数
归除不尽此自然之理也因其天生自然不须人力
穿凿以此算律何善如之历代算律祇欲杪忽除之
有尽遂致律吕往而不返此乃颠倒之见非自然之
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理也是以新法不用三分损益不拘隔八相生然而
相生有序循环无端十二律吕一以贯之此盖二千
馀年之所未有自我圣朝始也非学者所宜尽心焉
者乎
按古人算律亦非因杪忽欲除尽遂致律吕往而
不返也其根源自宫声八十一徵声五十四商声
七十二羽声四十八角声六十四俱是三分损益
之数意其数为天生自然遂以此定律吕之长短
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不知其数仍有毫釐之差也天地之真数潜隐既
久有时而泄故载堉能思得之耳
律体
蔡氏律吕新书曰十二律围径自先汉以前传记并
无明文惟班志云黄钟八百一十分繇此之义起十
二律之周径然其说乃是以律之长自乘而因之以
十盖配合为说耳未可以为据也惟审度章云一黍
之广度之九十分黄钟之长一为一分嘉量章则以
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千二百黍实其龠谨衡权章则以千二百黍为十二
铢则是累九十黍以为长积千二百黍以为广可见
也夫长九十黍容千二百黍则空围当有九方分乃
是围十分三釐八毫径三分四釐六毫也每一分容
十三黍又三分黍之一以九十因之则一千二百也
盖十其广之分以为长十一其长之分以为广自然
之数也又曰夫律以空围之同故其长短之异可以
定声之高下孟康不察乃谓凡律围径不同各以围
乘长而得此数者盖未之考也
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朱载堉曰旧律围径皆同而新律各不同礼记注疏曰
凡律空围九分月令章句曰围数无增减及隋志安丰
王等说皆不足取也故著此论论曰琴瑟不独徽柱之
有远近而弦亦有巨细焉笙竽不独管孔之有高低而
簧亦有厚薄焉弦之巨细若一但以徽柱远近别之不
可也簧之厚薄若一但以管孔高低别之不可也譬诸
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律管虽有修短之不齐亦有广狭之不等先儒以
为长短虽异围径皆同此未达之论也今若不信
以竹或笔管制黄钟之律一样二枚截其一枚分
作两段全律半律各令一人吹之声必不同合矣
此昭然可验也又制大吕之律一样二枚周径与
黄钟同截其一枚分作两段全律半律各令一人
吹之则亦不相合而大吕半律乃与黄钟全律相
合略差不远是知所谓半律者皆下全律一律矣大
抵管长则气隘隘则虽长而反清管短则气宽宽则虽
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短而反浊此自然之理先儒未达也要之长短广狭皆
有一定之理一定之数在焉置黄钟倍律九而一以为
外周用弦求句股术得其内周又置倍律四十而一以
为内径用句股求弦术得其外径盖律管两端形如环
田有内外周径焉外周内容之方即内径也内周外射
之斜即外径也方圆相容天地之象理数之妙者也黄
钟通长八十一分者内周九分是为八十一中之九即
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约分法九分中之一也若约黄钟八十一分作为九寸
则其内周当云一寸旧以九十分为黄钟而云空围九
分者误也况又穿凿指为面羃九方分则误益甚矣
按载堉此论亦二千年来所未有者也汉志之说孟
康之释推其误有数端黄钟约十为九内周当云一
寸而云围九分其误一围九分则径不及三分径三
分则围不啻九分而云径三分围九分乃径一围三
之谬法其误二诸律以长乘者乃是乘黄钟之面
幂退位以为本律之面幂非乘其围分也而云以围
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乘长其误三既乘得本律之面幂再以本律之长乘
之乃得本律之积而云以围乘长即得积其误四牵
于九六八之数附会天地人其误五刘歆班固孟康
虽有此数误然犹曰繇此之义起十二律之周径则
十二律各有周径其说犹近是也迨汉末诸儒郑氏
蔡氏之说出乃断以为凡律围九分无增减此说遂
牢不可破矣夫使围径皆同但以长短别高下则弹
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琴者惟按徽取声而七弦之粗细同散声同可乎不
可乎凡圆中容积与方中容积同理试使有方田百
亩其方折半则中容必是二十五亩断非五十亩故
黄钟半律必杀小其围径截为两段则与蕤宾同其
容积非半黄钟矣此理若不抉破后之造律制乐者
虽使制得黄钟真律大吕以下皆非其律况未必真
得黄钟乎人知黄钟中声之难求不知大吕以下诸
律正未易制黄钟大吕惟人所命若旧说不破何
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以得真黄钟真大吕哉惟我
圣祖仁皇帝诲谕臣工之学律者特发线与线体与体之比
例不同一条正所以破前人围径皆同之谬说也其
言加减八倍而后应者借立方体积相去八倍言之
若律管容积加减四倍即应也载堉云长短广狭皆
有一定之理一定之数此语诚然先儒算学不精格
物未至是以前志之犹近是者不能发明后人之立
谬说者遂为蔽惑耳
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载堉言置黄钟倍律九而一以为外周用弦求句股
术得其内周此算术仍未精密后详考订正之算律
须求真数不可有毫釐之差也
新书言空围当有九方分非也昔人明言周言围不
得以周围为方幂如言方幂则黄钟不得有九方分
新法算黄钟面幂九分八釐一毫七丝有奇者横黍
尺之分釐毫丝也以斜黍九十分者约之只得八分
八釐三毫五丝有奇耳其云围十分三釐八毫径三
分四釐六毫者围三径一之谬法也如围十分三釐
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八毫则径只有三分三釐二毫如径三分四釐六毫
则围有十一分零七毫有奇矣又以径自乘为方积
四分取三为圆积以求合于九方分此又圆田求积
之粗率不可用之以算律管也夫径三分四釐六毫
者安定胡瑗之律也因律太短不能容千二百黍故
扩其围径以就之当时用上党羊头山黍以三等筛
筛之而取其中则黍亦可迁就矣要之黍非真黍律
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非真律而算亦非真算蔡氏犹仍其误岂古人有密
率载在史志者竟未尝深究耶
周径幂积密率
按平圆周径幂积可互相求旧云周三径一又以方
积四分之三为圆积皆疏舛之率不可承用者也欲
算各律之外周内周外径内径及空围内之面幂实
积须求最密之率方准古之算家祖冲之为最其割
圆之法用缀术渐次求之得其周径之率考之隋书
律志祖氏原有三率一云径七周二十二者约率也
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一云径一百一十三周三百五十五者密率也然约
率则强密率犹稍弱仍有最密之率则径一周三一
四一五九二六五是也盖三一四一五九二七为赢
限三一四一五九二六为朒限正数在赢朒二限之
间末位约之为五三一四一五九二六五共得九位
亦可以为算周径之用矣周径相乘得七八五三九
八一六二五为平幂或以半径乘半周亦得平幂
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此最密之率也试借西人八线表验之
西人分周天为三百六十度一度又析为六十分是
分大圆为二万一千六百边也八线各有相当正弦
与馀割相乘与半径全数自乘等积查表一分之馀
割线三四三七七四六八二因此求得一分之正弦
二九○八八八二○四五○一以二万一千六百折
半为一万○八百乘之得三一四一五九二六○八
六一八正弦是直线圆周是曲线几与之等而曲
者必稍赢是以比圆周稍朒焉故径一则周三一四
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一五九二六五为最密之率宜用之
朱载堉密率法云圆周四十容方九句股求弦数可
知遂以此为求径率求周求积亦如之谓圆周四十
寸者内容方九寸九寸各自乘并得一百六十二寸
开方得斜弦为圆径也今按此法犹未密正法圆周
三一四一五九二六五内容方七○七一○六七八一
盖圆周四十则容方不啻九若容方九则圆周不及
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四十载堉以此率求诸律周径幂积惟径无差若周
幂积四位以后稍有嬴馀不得为真数矣数不真确
不可载之于书故今依祖氏法推算
先求三十六律通长真数
载堉云黄钟倍律通长二尺容黍二合称重二两律
度量衡无非倍者此自然全数也故算法皆从倍律
起若夫正律于度虽足于量于衡则皆不足祇容半
合祇重半两比诸倍律似非自然全数故算法不从
正律起亦不从半律起倍律正律半律各有十二
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共为三十六律
按诸律通长已见前篇其以次迭求之法已见第二
卷兹不再述
次求三十六律外径内径
按载堉之法先求周今易之先求径六阳律之外内
径有与他律通长相应退一位即得者不必求退一
位者十分之一也开列如左
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蕤宾正律通长退一位即黄钟倍律外径
林钟正律通长退一位即太蔟倍律外径
夷则正律通长退一位即姑洗倍律外径
南吕正律通长退一位即蕤宾倍律外径
无射正律通长退一位即夷则倍律外径
应钟正律通长退一位即无射倍律外径
黄钟半律通长退一位即黄钟倍律内径正律外径
大吕半律通长退一位即太蔟倍律内径正律外径
太蔟半律通长退一位即姑洗倍律内径正律外径
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夹钟半律通长退一位即蕤宾倍律内径正律外径
姑洗半律通长退一位即夷则倍律内径正律外径
仲吕半律通长退一位即无射倍律内径正律外径
蕤宾半律通长退一位即黄钟正律内径半律外径
林钟半律通长退一位即太蔟正律内径半律外径
夷则半律通长退一位即姑洗正律内径半律外径
南吕半律通长退一位即蕤宾正律内径半律外径
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无射半律通长退一位即夷则正律内径半律外径
应钟半律通长退一位即无射正律内径半律外径
凡倍律内径折半即半律内径
凡六阴吕以阳律之径分为实以十亿乘之以十亿
○二千九百三十万○二千二百三十六除之即得
本吕之径阴吕求阳律亦仿此十亿○二千九百三
十万有奇之数者应钟倍律外径五一四六五一一
一八三二一七四六○进位倍数也
次求三十六律外周内周
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以本律之径乘三一四一五九二六五以十除之得
周
如迭求之以本律之周为实以十亿乘之以十亿○
二千九百三十万○二千二百三十六除之得次律
之周
倍律外周折半即正律内周半律外周
倍律内周正律外周折半即半律内周
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次求三十六律面幂
以本律之周径相乘为实以四归之或以半周半径
相乘皆得面幂
如迭求之以本律之面幂为实以十亿乘之以十亿
○五千九百四十六万三千○九十四除之得次律
之面幂
倍律面幂折半即正律之面幂正律面幂折半即半
律之面幂
置七八五三九八一六二五以四除之得倍律黄钟
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面幂各以正律通长乘之得各倍律之面幂
置七八五三九八一六二五以八除之得正律黄钟
面幂各以倍律面幂折半得各正律之面幂
置七八五三九八一六二五以一十六除之得半律
黄钟面幂各以正律面幂折半得各半律之面幂
次求三十六律实积
各律以通长乘本律面幂再以通长乘所得即本律
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实积
如欲以次求之置本律实积为实以十兆乘之以十一
兆二千二百四十六万二千○四十八亿三千○九十
三万七千二百九十八除之得次律实积
倍律实积四归之得正律实积正律实积四归之得
半律实积
黄钟倍律面幂进一位即蕤宾倍律之实积倍之即
黄钟倍律之实积
太蔟倍律面幂进一位即林钟倍律之实积倍之即
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大吕倍律之实积
姑洗倍律面幂进一位即夷则倍律之实积倍之即
太蔟倍律之实积
蕤宾倍律面幂进一位即南吕倍律之实积倍之即
夹钟倍律之实积
夷则倍律面幂进一位即无射倍律之实积倍之即
姑洗倍律之实积
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无射倍律面幂进一位即应钟倍律之实积倍之即
仲吕倍律之实积
黄钟正律面幂进一位即黄钟正律之实积半之即
蕤宾正律之实积
太蔟正律面幂进一位即大吕正律之实积半之即
林钟正律之实积
姑洗正律面幂进一位即太蔟正律之实积半之即
夷则正律之实积
蕤宾正律面幂进一位即夹钟正律之实积半之即
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南吕正律之实积
夷则正律面幂进一位即姑洗正律之实积半之即
无射正律之实积
无射正律面幂进一位即仲吕正律之实积半之即
应钟正律之实积
已上诸律有相应处可见一气贯通之妙载堉未言
今推之如此学者宜深玩之
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律管长短广狭自然之理数河图已显其象象数篇
详之
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律吕阐微卷三
