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钦定四库全书
律吕阐微卷二
婺源 江永 撰
律率
从来言律者皆云黄钟九寸既得九寸用三分损一益
一以生十一律其法似巧妙一若天地生成有此法与
数者洎生至仲吕不能复得黄钟说者曰律吕之数往
而不返夫律吕效法天地者也天地之气今岁节气既
终来岁节气即续无丝毫之间断独律吕往而不返天
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地岂留其有憾乎有谓仲吕极不生者淮南子刘安之
说也有谓仲吕后犹生六十律强立之名自执始至南
事者京房之说也有谓仲吕所生为变律且有变律子
声者杜佑之说也三家之说皆非是独朱载堉因㮚氏
为量有内方尺而圆其外之文悟出天地以方圆相函
而自然之数出其中皆以句股乘除开方之法求之由
倍律而正律由正律而半律皆有真率真数疏密以渐
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而差每一律与三分损益所得者微强而不甚相远其
相生也可隔八可相连可左旋而顺亦可右旋而逆仲
吕与黄钟如母子之相随应钟与黄钟黄钟与大吕如
兄弟之相比夫妇之相偶皆一气相联无丝毫之间断
因律管长短推出管体厚薄与空围大小外周内周外
径内径平幂积实皆方圆相函自然之真数此数千年
未泄之秘载堉始发之虽起伶伦州鸠师旷之徒见之
亦当叹其妙绝今载其说更推本于图书发明理数之
所以然使此理昭晰无疑千万世言律学者更无可凿
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智翻案之理惟其算周径幂积所用之密率犹有未真
确者俟律体篇详之
载堉之推律亦因其舅祖何氏辨刘歆班固九寸外加
一寸为尺之谬又以十分之法解史记生钟分始知律
原从十起先有体而后有用遂因方内圆外之文悟方
圆相函之理倍律二尺正律一尺半律五寸皆以十为
率也倘一矢口即曰黄钟九寸虽有微妙理数隐于方
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圆相函之中亦无由生其悟矣
律数精微载堉深通算学故能启悟乘除开方不惮烦
劳推至二十馀位皆从艰苦得之宋儒言格物穷理此
一项工夫欠缺者多矣
推十二倍律正律之真率
朱载堉曰律家三分损其二三分益其一历家四分度
之一四分日之一与夫方则直五斜七圆则周三径一
等率皆举大略而言之耳非精义也新法算律与方圆
皆用句股术其法本诸周礼㮚氏为量内方尺而圆其
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外夫内方尺而圆其外则圆径与方斜同知方之斜即
知圆之径矣度本起于黄钟之长则黄钟之长即度法
一尺命平方一尺为黄钟之率
东西十寸为句自乘得百寸为
句幂南北十寸为股自乘得百寸为
股幂相并共得二百寸为弦幂
乃置弦幂为实开平方法除之
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得弦一尺四寸一分四釐二毫一丝三忽
五微六纤二三七三○九五○四八八○一六八九为
方之斜即圆之径亦即蕤宾倍律之率
以句十寸乘之
得平方积一百四十一寸四十二分一十三釐五十
六毫二十三丝七十三忽○九五○四八八○一六八
九为实开平方法除之得一尺一寸八分九釐二毫○
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七忽一微一纤五○○二七二一○六六七一七五即
南吕倍律之率仍以句十寸乘之又以股十寸
乘之得立方积一千一百八十九寸二百○七
分一百一十五釐○○二毫七百二十一丝○六十六
忽七一七五为实开立方法除之
得一尺○五分九
釐四毫六丝三忽○九纤四三五九二九五二六四五
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六一八二五即应钟倍律之率
盖十二律黄钟为始应钟为终终而
复始循环无端此自然真理犹贞后元生坤尽复来也
是故各律皆以黄钟正数十寸乘之为实皆以应钟倍
数十寸○五分九釐四毫六丝三忽○九纤四三五九
二九五二六四五六一八二五为法除之即得其次律
也安有往而不返之理哉旧法往而不返者盖由三分
损益算术不精之所致也是故新法不用三分损益别
造密率其详如左
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按载堉谓旧法往而不返由三分损益算术不精之
所致愚谓古人亦非算术不精也九九八十一之数
始于三管子有起五音凡首先主一而三之四开以
合九九之说伶州鸠有纪之以三平之以六成于十
二之说老子有道生一一生二二生三三生万物之
说汉人有太极元气函三为一之说始动于子参之
于丑以至参之于亥为应钟得十七万七千一百四
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十七之数一若以此为万物终始自然之数矣下生
者倍其实三其法上生者四其实三其法黄钟九寸
林钟六寸太蔟八寸三律得寸之全无零分汉人遂
有黄钟为天统林钟为地统太蔟为人统之说矣其
推说愈近理则其信三分损益也愈固恶知此外仍
有算律之法哉又以旧法较今法林钟得黄钟三分
之二以倍律言之当为一三三三三不尽而新率为
一三三四八有奇太蔟得黄钟九分之八倍律当为
一七七七七不尽而新率为一七八一七有奇其数
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与三分损益所得者切近而稍赢安得不以三分损
益为自然之数哉至仲吕不能反生黄钟则无如之
何矣独淮南子所载诸律之数何承天刘焯算之似
欲破三分损益之说载之晋书宋书然而奇零小数
半分以下弃之半分已上收之终无确数其黄钟生
林钟之法置黄钟八十一分为实以五百乘之得四
万○五百分以七百四十九为法除之得五十四分
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为林钟除实未尽则弃之矣七百四十九者与仲吕
正律之长相近以此为法似矣然九之下仍有小数
新法黄钟生林钟置黄钟之率十亿为实五亿乘之
七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之得
林钟则以七四九为法除实求林钟者尚未确是以
仲吕终不能反生黄钟皆由方圆相函勾股乘除开
方一窍未启故载堉云新法盖二千馀年所未有自
我朝始诚然也
又曰造率始于黄钟必先求蕤宾者犹冬夏二至也次
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求夹钟及南吕者犹春秋二分也太极生两仪两仪生
四象此之谓也始于黄钟者履端于始也中于蕤宾者
举正于中也终于应钟者归馀于终也律与历一道也
黄钟为宫蕤宾为中应钟为和此三律者律吕之纲纪
也
按载堉言次求夹钟及南吕本书未言求夹钟之法
今补之
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法曰求得蕤宾倍律之率以句十寸折牛为五寸乘之
得平方积七十寸○七十一分○六釐七十八毫一十
一丝八十六忽五四七五二四四○○八四四五为实
开平方法除之得八寸四分○八毫九丝六忽四一五
二五三七一四五四三○三一一二五即夹钟正律之
率倍之一六八一七九二八三○五○七四二九○八
六○六二二五一为夹钟倍律之率又或以南吕之平
方积倍之二八二八四二七二二四七四六一九○ ○
九七六○三三七八开平方法除之即夹钟倍律之率
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积算旁通图
二
右乃黄钟倍律积算
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一八八七七四八六二五三六三三八六九九三二八
三六二六
右乃大吕倍律积算
一七八一七九七四三六二八○六七八六○九四八
○四五二
右乃太蔟倍律积算
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一六八一七九二八三○五○七四二九○八六○六
二二五一
右乃夹钟倍律积算
一五八七四○一○五一九六八一九九四七四七五
一七六 ○
右乃姑洗倍律积算
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一四九八三○七○七六八七六六八一四九八七九
九二八一
右乃仲吕倍律积算
一四一四二一三五六二三七三○九五○四八八○
一六八九
右乃蕤宾倍律积算
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一三三四八三九八五四一七○○三四三六四八三
○八三二
右乃林钟倍律积算
一二五九九二一○四九八九四八七三一六四七六
七二一
右乃夷则倍律积算
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一一八九二○七一一五○二七二一○六六七一七
五
右乃南吕倍律积算
一一二二四六二○四八三○九三七二九八一四三
三五三三
右乃无射倍律积算
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一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五六
一八二五
右乃应钟倍律积算
新造密率二种
黄钟之率二十兆
大吕之率十八兆八千七百七十四万八千六百二十
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五亿三千六百三十三万八千六百九十九
太蔟之率十七兆八千一百七十九万七千四百三十
六亿二千八百○六万七千八百六十
夹钟之率十六兆八千一百七十九万二千八百三十
亿○五千○七十四万二千九百○八
姑洗之率十五兆八千七百四十万○一千○五十一
亿九千六百八十一万九千九百四十七
仲吕之率十四兆九千八百三十万○七千○七十六
亿八千七百七十六万八千一百四十九
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蕤宾之率十四兆一千四百二十一万三千五百六十
二亿三千七百三十万○九千五百○四
林钟之率十三兆三千四百八十三万九千八百五十
四亿一千七百万○○三千四百三十六
夷则之率十二兆五千九百九十二万一千○四十九
亿八千九百四十八万七千三百一十六
南吕之率十一兆八千九百二十万○七千一百一十
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五亿○○二十七万二千一百○六
无射之率十一兆二千二百四十六万二千○四十八
亿三千○九十三万七千二百九十八
应钟之率十兆○五千九百四十六万三千○九十四
亿三千五百九十二万九千五百二十六
黄钟之率十亿
大吕之率九亿四千三百八十七万四千三百一十二
太蔟之率八亿九千○八十九万八千七百一十八
夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五
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姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五
仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八
蕤宾之率七亿○七百一十万○六千七百八十一
林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七
夷则之率六亿二千九百九十六万○五百二十四
南吕之率五亿九千四百六十万○三千五百五十七
无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四
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应钟之率五亿二千九百七十三万一千五百四十七
补半律之率
黄钟之率五亿
大吕之率四亿七千一百九十三万七千一百五十六
太蔟之率四亿四千五百四十四万九千三百五十九
夹钟之率四亿二千○四十四万八千二百○七
姑洗之率三亿九千六百八十五万○二百六十二
仲吕之率三亿七千四百五十七万六千七百六十九
蕤宾之率三亿五千三百五十五万三千三百九十
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林钟之率三亿三千三百七十万○九千九百六十三
夷则之率三亿一千四百九十八万○二百六十二
南吕之率二亿九千七百三十万○一千七百七十八
无射之率二亿八千○六十一万五千五百一十二
应钟之率二亿六千四百八十六万五千七百七十三
按诸律之率固皆以应钟之率为法求得之而各律
自乘有平幂其倍半有自然相应者开列于后
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黄钟倍律之幂折半为蕤宾倍律之幂 蕤宾倍律之
幂折半为黄钟正律之幂 黄钟正律之幂折半为蕤
宾正律之幂 蕤宾正律之幂折半为黄钟半律之幂
黄钟半律之幂折半为蕤宾半律之幂
右子午对冲之例也
大吕倍律之幂折半为林钟倍律之幂 林钟倍律之
幂折半为大吕正律之幂 大吕正律之幂折半为林
钟正律之幂 林钟正律之幂折半为大吕半律之幂
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大吕半律之幂折半为林钟半律之幂
右丑未对冲之例也
太蔟倍律之幂折半为夷则倍律之幂 夷则倍律之
幂折半为太蔟正律之幂 太蔟正律之幂折半为夷
则正律之幂 夷则正律之幂折半为太蔟半律之幂
太蔟半律之幂折半为夷则半律之幂
右寅申对冲之例也
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夹钟倍律之幂折半为南吕倍律之幂 南吕倍律之
幂折半为夹钟正律之幂 夹钟正律之幂折半为南
吕正律之幂 南吕正律之幂折半为夹钟半律之幂
夹钟半律之幂折半为南吕半律之幂
右卯酉对冲之例也
姑洗倍律之幂折半为无射倍律之幂 无射倍律之
幂折半为姑洗正律之幂 姑洗正律之幂折半为无
射正律之幂 无射正律之幂折半为姑洗半律之幂
姑洗半律之幂折半为无射半律之幂
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右辰戌对冲之例也
仲吕倍律之幂折半为应钟倍律之幂 应钟倍律之
幂折半为仲吕正律之幂 仲吕正律之幂折半为应
钟正律之幂 应钟正律之幂折半为仲吕半律之幂
仲吕半律之幂折半为应钟半律之幂
右已亥对衡之例也
已上六例载堉书所未言今推得之此方圆相函内
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内倍半自然相应之道也律之空围面幂积实其例
亦如此方与方圆与圆其理同也
方圆相函列律图
自有律书以来未有此图天地之秘密泄于此图观
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按载堉之说非图不显作此图以明之方函圆圆又
函方皆自然之理即有一定之数列线为律外十二
线为倍律中十二线为正律其半律亦有十二在内
线愈密不能图只图其一律之疏密自有差次无忽
密忽疏之病律之长短皆两斜线界定非由三分损益
观此则新旧二法真伪判然矣
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方圆相函外内周径幂积图
考工记㮚氏为量内方尺而圆其外此图外圆之第二层
方之第三层也今各增其内外之方圆迭相函容径与径
幂与幂各以倍半相应此律吕长短所由生外内周径面
幂实积所由出此天地自然之理数不假人力安排者也
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李文贞公光地曰律之以损益相生何也曰凡象数皆
起于阴阳象者阴阳相变者也数者奇偶相生者也故
方之内圆必得外圆之半其外圆必得内圆之倍圆之
内方亦必得外方之半其外方亦必得内方之倍律之
上生为下生之倍下生为上生之半其理一也盖方圆
函盖奇偶乘负阴阳变化天地生生之道也苟其象之所
生同数之所起同则上下无不应也外内无不合也倍
半无不和也故司马迁律书谓之同数今西人算学谓
之比例易曰同声相应同气相求此之谓也夫金石之
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铿訇与丝竹之繁细物性迥然殊矣而各以其性为声
律则无不相应者岂非同类比例之谓乎
按文贞公深明象数之学以方圆倍半之理推原声
律相生倍半相应直抉造化之微此朱载堉所以因
㮚氏之文能别推出密率新法者也然文贞公设问
犹言损益相生不云律生于方圆相容之形岂未见
载堉之书暗与之相符与今作此图明之方六层圆
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五层方圆有方圆之倍半平幂有平幂之倍半律之
长短围径之大小幂积之多寡其理皆具此图之中
要其所以然者河图已以象数示人矣俟象数篇详
之
律数相较图
正律数 一较 再较 三较
黄钟十
大吕九四三八七四三一二 三一五
○○九四
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太簇八九○八九八七一八 二九七
三二九一
夹钟八四○八九六四一五 二八○
六四一二
姑洗七九三七○○五二五 二六四
八九○三
仲吕七四九一五三五五八 二五○
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○二三○
蕤宾七○七一○六七八一 二三五
九九○三
林钟六六七四一九九二七 二二二
七四五一
夷则六二九九六○五二四 二一○
二四二六
南吕五九四六○三五五七 一九八
四四三四
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无射五六一二三一○二四 一八七
三○五六
应钟五二九七三一五四七 一七六
七九三○
半黄钟五
凡数前后相较必以渐而差如八线表度分匀而诸
线各有差率是为真数律之渐而短也亦然其以应
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钟之率为法而除实也则同以其前后相差之数一
较再较三较皆以渐可见新法为真数旧法三分损
益得之者忽多忽失不以其渐矣
诸律相生
朱载堉曰新法不拘隔八相生而相生有四法或左旋
或右旋皆循环无端也以證三分损益往而不返之误
其一黄钟生林钟林钟生太蔟太蔟生南吕南吕生
姑洗姑洗生应钟应钟生蕤宾蕤宾生大吕大吕生夷
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则夷则生夹钟夹钟生无射无射生仲吕仲吕生黄钟
长生短五亿乘之短生长十亿乘之皆以七亿四千九
百一十五万三千五百三十八除之
按此隔八左旋相生也七亿四千九百一十五万三
千五百三十八者仲吕之率也仲吕复生黄钟者也
用其率以除实自然循环矣旧法三分损一益一亦
是以五以十乘本律而以七十五为法除之七十五
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者七亿五千万也实少法强是以不能复生黄钟又
如晋宋书算淮南子之法以七百四十九为除法七
百四十九者七亿四千九百万也法又稍弱是以亦
不能循环此新法之所以妙也仲吕之率亦不必以
应钟迭求而后得也应钟之率自乘而倍之平方开
之即仲吕之率矣
用横黍百分律者黄钟长十寸如法乘除所得亿约
为寸
用斜黍九十分律者黄钟长九寸长生短者本律之
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率折半为实九亿乘之短生长者本律之率为实九
亿乘之如法除之所得亿约为寸
用纵黍八十一分律者黄钟长八寸一分长生短者
八十一亿乘本律之率折半退位为实短生长者不
折半但退位为实如法除之所得亿约为寸
其二黄钟生仲吕仲吕生无射无射生夹钟夹钟生夷
则夷则生大吕大吕生蕤宾蕤宾生应钟应钟生姑洗
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姑洗生南吕南吕生太蔟太蔟生林钟林钟生黄钟长
生短五亿乘之短生长十亿乘之皆以六亿六千七百
四十一万九千九百二十七除之
按此隔八右旋相生也六亿六千七百四十一万九
千九百二十七者林钟之率也末位林钟生黄钟故
用林钟之率
其三黄钟生大吕大吕生太蔟太蔟生夹钟夹钟生姑
洗姑洗生仲吕仲吕生蕤宾蕤宾生林钟林钟生夷则
夷则生南吕南吕生无射无射生应钟应钟生黄钟半
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律此系长生短皆以五亿乘之皆以五亿二千九百七
十三万一千五百四十七除之
按此相连左旋相生也五亿二千九百七十三万一
千五百四十七者应钟之率也末位应钟生黄钟半
律故用应钟之率
其四黄钟半律生应钟应钟生无射无射生南吕南吕
生夷则夷则生林钟林钟生蕤宾蕤宾生仲吕仲吕生
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姑洗姑洗生夹钟夹钟生太蔟太蔟生大吕大吕生黄
钟此系短生长皆以十亿乘之皆以九亿四千三百八
十七万四千二百一十二除之
按此相连右旋相生也九亿四千三百八十七万四
千三百一十二者大吕之率也末位大吕生黄钟故
用其率
已上四法反覆循环相生可见十二律有一气连贯
之妙四法以第一法为要此五声宫徵商羽角之相
通旋宫之法所由出也诸律比例相生其理已具洛
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书第六卷详之
又按隔八相生诸家之说不同有以阳律下生阴吕
上生大吕夹钟仲吕用倍数者前汉志之法也蔡氏
从之有以黄钟至仲吕为阳皆下生蕤宾至应钟为
阴皆上生者淮南子郑康成之法也朱子从之吕不
韦之法则黄钟大吕太簇夹钟姑洗仲吕蕤宾七律
皆用半而上生林钟夷则南吕无射应钟五律皆用
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全而下生其说与诸家大异盖诸家谓黄钟下生林
钟者用全律吕氏谓黄钟上生林钟者用半律吕氏
之说即管子宫主生徵百有八之理也论声律之体
固如诸家之说声律之用当主管吕之说祇论长短
不论阴阳载堉亦尝称引管子之言矣亦谓长律用
半短律用全矣载堉又引朱子语有大阴阳小阴阳
之说谓此论精妙非蔡氏所及究之上下相生别有
妙理徒以阴阳言者尚未尽其妙也今不录
律吕阐微卷二
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